今回は
$$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$$
の因数分解を完全解説します。
まず、式を展開していきます。
\(
ab^2-ac^2+bc^2-a^2b+a^2c-b^2c
\)
次にアルファベットの\(a\)に注目して、\(a\)の次数の高い項から並べなおします。
（これを\(a\)について降べきの順に並べる、と言います。）
\(
-a^2b+a^2c+ab^2-ac^2-b^2c+bc^2
\)
次に個別に共通因数でくくり出していきます。
\(
-a^2b+a^2c=-(b-c)a^2\\
+ab^2-ac^2=+(b^2-c^2)a\\
-b^2c+bc^2=-bc(b-c)
\)
これを改めて式に直します。
\(
-(b-c)a^2+(b^2-c^2)a-bc(b-c)
\)
ここで、\(a\)の係数である\((b^2-c^2)\)は因数分解できるので因数分解します。
\(
(b^2-c^2)=(b+c)(b-c)
\)
改めて式にしなおしてみます。
\(
-(b-c)a^2+(b+c)(b-c)a-bc(b-c)
\)
ここですべての項に\((b-c)\)が含まれているので、\((b-c)\)を共通因数として因数分解します。
\(
(b-c)\{-a^2+(b+c)-bc\}
\)
となります。
\(
\{-a^2+(b+c)-bc\}
\)
を\(-1\)でくくり出します。
\(
-(b-c)\{a^2-(b+c)+bc\}
\)
最後に\(\{a^2-(b+c)+bc\}\)を因数分解します。
\(
(a-b)(a-c)
\)
式に当てはめます。
\(
-(b-c)(a-b)(a-c)
\)
これを整理して
\(
-(a-b)(b-c)(a-c)
\)
最後に\(-(a-b)\)の前に掛けてある\(-1\)を\((a-c)\)に掛けます。
すると解答になります。
\(
(a-b)(b-c)(c-a)
\)
