今回は
$$a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+8abc$$
の因数分解の解法です。
１：式の展開
まず、式を展開していきます。
\(
\begin{eqnarray}
&=&a(b^2-2bc+c^2)+b(c^2-2ac+a^2)+c(a^2-2ab+b^2)+8abc\\
&=&ab^2-2abc+ac^2+bc^2-2abc+a^2b+a^2c-2abc+b^2c+8abc
\end{eqnarray}
\)
２：式の整理
次に、\(a\)について降べきの順に並べなおし、同類項はまとめていきます。
\(
\begin{eqnarray}
&=&a^2b+a^2c+ab^2+8abc-6abc+ac^2+b^2c+bc^2\\
&=&a^2b+a^2c+ab^2+2abc+ac^2+b^2c+bc^2
\end{eqnarray}
\)
３：一回目の因数分解
ここからは個別に因数分解に入ります。
まず\(a^2\)の因数分解です。
\(
\begin{eqnarray}
&=&a^2b+a^2c\\
&=&(b+c)a^2・・・①
\end{eqnarray}
\)
次に\(a\)の因数分解です。
\(
\begin{eqnarray}
&=&+ab^2+2abc+ac^2\\
&=&+(b^2+2bc+c^2)a\\
&=&+(b+c)^2a・・・②
\end{eqnarray}
\)
最後に\(b^2c+bc^2\)の因数分解です。
\(
\begin{eqnarray}
&=&+b^2c+bc^2\\
&=&+(b+c)bc・・・③
\end{eqnarray}
\)
４：式の組みなおしから二回目の因数分解
①+②＋③で式を作り直します。
\(
\begin{eqnarray}
&=&(b+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc\\
\end{eqnarray}
\)
ここで、\((b+c)\)が共通因数なので\((b+c)\)で更に因数分解します。
\(
\begin{eqnarray}
&=&(b+c)\{a^2+(b+c)a+bc\}\\
\end{eqnarray}
\)
また、\(\{a^2+(b+c)a+bc\}\)も因数分解ができます。
\(
\begin{eqnarray}
&=&\{a^2+(b+c)a+bc\}\\
&=&(a+b)(a+c)
\end{eqnarray}
\)
５：解答
最終的には
\(
\begin{eqnarray}
&=&(b+c)(a+b)(a+c)
\end{eqnarray}
\)
となり、これを「輪環の順」となるように並べ替えると
\(
\begin{eqnarray}
&=&(a+b)(b+c)(c+a)
\end{eqnarray}
\)
となります。
