今日の因数分解は・・・
$$a^3+b^3+c^3-3abc$$
です。
フォーカスゴールド数ⅠAに掲載されていました。
さっそく行ってみましょう！
前提公式の確認１
前提公式１
\(
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\)
これをどこで使うかというと、
\(a^3+b^3\)の部分を\((a+b)^3-3a^2b-3ab^2\)に変形する形で使います。
さらに\(-3a^2b-3ab^2\)を\(-3ab(a+b)\)に因数分解します。
以上を最初の式に当てはめて変形してみます。
$$(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc$$
となりました。
部分わけ
これを３乗の部分とそうでない部分に分けます。
\(
(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc
\)
前提公式の確認２
ここで前提公式２
\(
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
\)
この公式を\((a+b)^3+c^3\)に使います。
\(
\{(a+b)+c\}\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2\}\\
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2)\\
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ca)・・・①
\)
となります。
また、\(-3ab(a+b)-3abc\)の部分は、共通因数が\(-3ab\)なので\(-3ab\)で因数分解します。
\(
-3ab(a+b)-3abc\\
=-3ab\{(a+b)+c\}\\
=-3ab(a+b+c)・・・②
\)
２つの式の合体
①と②をつなげます。
\(
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ca)-3ab(a+b+c)
\)
ここで\((a+b+c)\)が共通因数になっているので、さらに因数分解します。
\(
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ca)-3ab(a+b+c)\\
=(a+b+c)\{(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ca)-3ab\}\\
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
\)
結論
ということで因数分解の結果は
$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$
でした。
前提となる公式が２つあるのでそれを使うことに気づくかどうか・・・。
普通は気付かんよね。
だからこの問題は・・・
知っとるか知らんかの問題なのかもしれんね。
では皆さん頑張ってくださいね！
